समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा frac{x}{2} | vedclass

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Question

(B) माना पहली रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।दूसरे समतल में स्थित दो रेखाओं $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec

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$x - 2y + z = 0$

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(B) माना पहली रेखा $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।दूसरे समतल में स्थित दो रेखाओं $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_3} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।दूसरे समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{v_2} 	imes \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 4 & 2 \ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ है।अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को $\vec{v_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।अतः,$\vec{n} = \vec{v_1} 	imes \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 4 \ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$ प्राप्त होता है।अभिलंब सदिश $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ लेने पर,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ होगा।

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रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,तो $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$ का मान है

रेखा $x-2=\frac{y-4}{4}=\frac{z-6}{7}$ को समाहित करने वाले और रेखा $\vec{r}=(\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k})$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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